题解 P2429 【制杖题】

发表于 | 更新于

$Description$

求不大于$m$的、 质因数集与给定质数集有交集的自然数之和。

$Solution$

考虑容斥。统计所有$a_i$的倍数，然后减去两两之间的乘积，再加上三个之间的乘积$\cdots,$这个过程可以用状压实现。

对于当前状态$s,$根据$s$中$1$的个数确定状态$s$对答案的贡献是加还是减。然后计算一个$res$表示$s$中所有$1$位置上$a_i$的乘积。将答案$+/-$上$\sum\limits_{i=1}^{m/res}i\times res,z$这个式子可以化简为$$\frac{(m/res)\times(m\times res+1)}{2}\times res$$

$Code$

1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
#include <bits/stdc++.h>
#define int long long
#define inf 0x3f3f3f3f
#define re register
#define N 200057
#define mod 376544743
#define inv2 188272372
using namespace std;

inline int read(){
    int x=0,w=0;char ch=getchar();
    while (!isdigit(ch))w|=ch=='-',ch=getchar();
    while (isdigit(ch))x=(x<<1)+(x<<3)+ch-'0',ch=getchar();
    return w?-x:x;
}
int w[N],ans;
signed main(){
    int n=read(),m=read();
    for (int i=1;i<=n;++i)w[i]=read();
    if (n*m<=1e7){
        for (int i=1;i<=m;++i){
            int flag=0;
            for (int j=1;j<=n;++j)
                if (i%w[j]==0){
                    flag=1;
                    break;
                }
            if (flag)ans=(ans+i)%mod;
        }
        printf("%d\n",ans);
        return 0;
    }
    for (int s=1;s<(1<<n);++s){
        int res=1,cnt=0;
        for (int j=1;j<=n;++j)
            if (s&(1<<(j-1)))
                res*=w[j],++cnt;
        int t=m/res;
        if (cnt&1)ans=(ans+res*t%mod*(t+1)%mod*inv2%mod)%mod;
        else ans=(ans-res*t%mod*(t+1)%mod*inv2%mod)%mod;
    }
    cout<<ans;
    return 0;
}